최소 신장 트리(MST, Minimum Spanning Tree) [개념]

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1. Spanning Tree

1.1. Spanning Tree란?

그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리

• Spanning Tree = 신장 트리 = 스패닝 트리

• Spanning Tree는 그래프의 최소 연결 부분 그래프 이다.
• 최소 연결 = 간선의 수가 가장 적다.
• n개의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선의 개수는 (n-1)개이고, (n-1)개의 간선으로 연결되어 있으면 필연적으로 트리 형태가 되고 이것이 바로 Spanning Tree가 된다.

• 즉, 그래프에서 일부 간선을 선택해서 만든 트리

1.2. Spanning Tree의 특징

• DFS, BFS를 이용하여 그래프에서 신장 트리를 찾을 수 있다.
• 탐색 도중에 사용된 간선만 모으면 만들 수 있다.

• 하나의 그래프에는 많은 신장 트리가 존재할 수 있다.

• Spanning Tree는 트리의 특수한 형태이므로 모든 정점들이 연결 되어 있어야 하고 사이클을 포함해서는 안된다.

• 따라서 Spanning Tree는 그래프에 있는 n개의 정점을 정확히 (n-1)개의 간선으로 연결한다.

1.3. Spanning Tree의 사용 사례

• 예를 들어, 회사 내의 모든 전화기를 가장 적은 수의 케이블을 사용하여 연결하고자 하는 경우

• n개의 위치를 연결하는 통신 네트워크를 최소의 링크(간선)을 이용하여 구축하고자 하는 경우, 최소 링크의 수는 (n-1)개가 되고, 따라서 Spanning Tree가 가능해진다.

2. MST

2.1. MST란?

Spanning Tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리

• MST = Minimum Spanning Tree = 최소 신장 트리

• 각 간선의 가중치가 동일하지 않을 때 단순히 가장 적은 간선을 사용한다고 해서 최소 비용이 얻어지는 것은 아니다.

• MST는 간선에 가중치를 고려하여 최소 비용의 Spanning Tree를 선택하는 것을 말한다.

• 즉, 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)에 있는 모든 정점들을 가장 적은 수의 간선과 비용으로 연결하는 것이다.

2.2. MST의 특징

1. 간선의 가중치의 합이 최소여야 한다.

2. n개의 정점을 가지는 그래프에 대해 반드시 (n-1)개의 간선만을 사용해야 한다.

3. 사이클이 포함되어서는 안된다.

2.3. MST의 사용 사례

2.4. MST의 구현 방법

2.4.1. Kruskal MST 알고리즘

탐욕적인 방법(greedy method)을 이용하여 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것

• 과정
1. 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
2. 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.
• 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
• 사이클을 형성하는 간선을 제외한다.
3. 해당 간선을 현재의 MST(최소 비용 신장 트리)의 집합에 추가한다.

• 사이클 생성 여부를 확인하는 방법
• 추가할 새로운 간선의 양끝 정점이 같은 집합에 속해 있으면 사이클이 형성
• 따라서, 추가하고자 하는 간선의 양끝 정점이 같은 집합에 속해 있는지를 먼저 검사해야 한다.
union-find 알고리즘 이용

• Disjoint Set을 표현할 때 사용하는 알고리즘



# 초기화
MAX_SIZE = 100  # 예시 크기 (필요에 따라 변경)
root = list(range(MAX_SIZE))  # 각 노드의 부모를 자기 자신으로 초기화

# find 함수 (경로 압축 적용)
def find(x):
    if root[x] != x:  # 루트가 아니면, 루트 노드를 찾아가며 경로 압축
        root[x] = find(root[x])
    return root[x]

# union 함수 (두 집합을 병합)
def union(x, y):
    root_x = find(x)
    root_y = find(y)
    if root_x != root_y:  # 이미 같은 집합이 아닐 경우에만 병합
        root[root_y] = root_x  # y의 루트를 x로 변경

• 시간 복잡도
• union-find 알고리즘을 이용하면 Kruskal 알고리즘의 시간 복잡도는 간선들을 정렬하는 시간에 좌우된다.
• 즉, 간선 e개를 퀵 정렬과 같은 효율적인 알고리즘으로 정렬한다면 시간 복잡도는 가 된다.
• Prim 알고리즘의 시간 복잡도는 이므로
• 그래프 내에 적은 숫자의 간선만을 가지는 희소 그래프(Sparse Graph)의 경우 Kruskal 알고리즘이 적합하다.
• 그래프에 간선이 많이 존재하는 밀집 그래프(Dense Graph)의 경우 Prime 알고리즘이 적합하다.

2.4.2. Prim MST 알고리즘

시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장 해나가는 방법

• 과정
1. 시작 단계에서는 시작 정점만이 MST 집합에 포함된다.
2. 앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.
3. 위의 과정을 트리가 (N-1)개의 간선을 가질 때까지 반복한다.

• 구현

import heapq

def solution(n, costs):
    # 1. 그래프 구성 (인접 리스트)
    graph = {i: [] for i in range(n)}
    for a, b, cost in costs:
        graph[a].append((cost, b))
        graph[b].append((cost, a))

    # 2. 최소 신장 트리 (MST) 구성
    total_cost = 0
    visited = set()  # 방문한 노드
    min_heap = [(0, 0)]  # (비용, 시작 정점) - 처음에는 비용 0, 정점 0에서 시작

    while len(visited) < n:
        cost, node = heapq.heappop(min_heap)  # 최소 비용 간선 선택

        if node in visited:
            continue  # 이미 방문한 노드는 무시

        # 3. 방문 처리 및 비용 추가
        visited.add(node)
        total_cost += cost

        # 4. 현재 정점에서 갈 수 있는 모든 간선 추가
        for next_cost, next_node in graph[node]:
            if next_node not in visited:
                heapq.heappush(min_heap, (next_cost, next_node))

    return total_cost 

• 시간 복잡도
• 주 반복문이 정점의 수 n만큼 반복하고, 내부 반복문이 n번 반복
• 따라서, Prime 알고리즘의 시간 복잡도는

2.4.3. 알고리즘 비교

참고 자료

Heee's Development Blog[알고리즘] 최소 신장 트리(MST, Minimum Spanning Tree)란 - Heee's Development Blog

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